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黎曼可积最新视觉报道_riemannlebesgue引理(2024年12月全程跟踪)

内容来源：兔耳朵在线影院所属栏目：热点更新日期：2024-12-05

黎曼可积

连续、有界、可积之间的关系详解 ### 连续与有界的关系 𐟓‰ 首先，我们来看看连续和有界之间的关系。连续函数一定有界：如果函数在闭区间上连续，那么它在该区间上一定有界。这是因为连续函数在闭区间上能取到最大值和最小值，所以函数值必然在最大值和最小值之间，即函数有界。例如，函数 $ f(x) = \sin x $ 在区间 $[-\pi, \pi]$ 上连续，且值域在 $[-1, 1]$ 之间，所以 $ f(x) $ 在该区间上有界。有界函数不一定连续：虽然有界函数是对函数值范围的限制，但它并不能保证函数的连续性。例如，狄利克雷函数 $ D(x) = 1 $ 当 $ x $ 是有理数，且 $ D(x) = 0 $ 当 $ x $ 是无理数，在整个实数域上是有界的，但在任意一点处都不连续。连续与可积的关系 𐟓ˆ 接下来，我们探讨一下连续和可积之间的关系。连续函数一定可积：如果函数在闭区间上连续，那么它在该区间上一定可积。因为连续函数的图像是一条连绵不断的曲线，不存在无限大的跳跃或间断，所以可以通过分割、求和、取极限的方式来计算定积分。例如，函数 $ f(x) = x^2 $ 在区间 $[0, 1]$ 上连续，那么 $ f(x) $ 在 $[0, 1]$ 上可积。可积函数不一定连续：虽然可积函数不一定是连续函数，但如果函数在闭区间上有界，且只有有限个间断点，那么该函数在闭区间上也是可积的。例如，函数 $ f(x) = 1 $ 当 $ x $ 是有理数，且 $ f(x) = 0 $ 当 $ x $ 是无理数，在整个实数域上有界，但在任意一点处都不连续，但它在任何区间上的积分值都可以用常规的黎曼积分方法来计算。有界与可积的关系 𐟓Š 最后，我们看看有界和可积之间的关系。可积函数一定有界：可积函数一定是有界的。这是黎曼可积的必要条件，因为如果函数无界，那么在进行积分时，无法保证积分的和是有限的，也就不满足可积的定义。有界函数不一定可积：虽然有界函数可以保证在一定范围内取值，但它并不一定可积。例如，狄利克雷函数虽然在任何区间上的积分值都无法用常规的黎曼积分方法来计算。案例分析 𐟔 现在我们来分析一个具体的例子：判断函数 $ f(x) = \sin x $ 在区间 $[-1, 1]$ 上的可积性。分析：需要判断函数在给定区间上的连续性和间断点情况。解答：当 $ x = 0 $ 时，$ f(x) = \sin x $ 是连续的；当 $ x \to 0 $ 时，$ f(x) \to 1 $，而 $ f(0) = 1 $，所以函数在 $ x = 0 $ 处连续。因此，$ f(x) $ 在区间 $[-1, 1]$ 上连续，根据连续函数必可积的结论，$ f(x) $ 在该区间上可积。

数学分析笔记：从基础到进阶 ### 数列极限 𐟚€ 实数系的连续性：确界原理、Dedekind分割原理、Stolz定理、收敛准则（单调有限定理、柯西收敛准则、Bolzano-Weierstrass定理）、闭区间套定理、归结原则。两个重要的极限：连续函数的定义，第一类间断点（可去间断点、跳跃间断点），第二类间断点（无穷间断点或振荡间断点）。函数极限的性质 𐟓ˆ 唯一性：函数极限在自变量趋近于某个值时，极限值是唯一的。局部保号性：函数在某点的极限与函数在该点的值符号相同。局部保序性：函数在某点的极限与函数在该点的值大小关系一致。局部有界性：函数在某点的极限与函数在该点的值都存在且有限。两边夹准则：函数被两个极限相同的函数夹在中间，其极限也存在且与这两个函数相同。无穷小量和无穷大量阶的判断：闭区间上的连续函数具有有界性、最值性、零点、介值性、一致连续性。反证法是一种有效的证明方法。区分一致连续和点点连续。一元微分 𐟓 代数学基本定理：一元n次多项式在复数域上有n个解。微积分基本定理：NL公式，可导一定连续，可导等价于可微。复合函数求导（链式法则）：复合函数的导数等于内层函数和外层函数的乘积。隐函数求导：隐函数的导数可以通过隐函数定理求解。一阶微分方程不变性：微分方程的解与自变量的变化无关。微分中值定理及其应用 𐟔 费马引理（Fermat）：极值点的导数为0。罗尔定理（Rolle）：函数在区间两端相等，中间有一点导数为0。拉格朗日定理（Lagrange）：中间导数等于斜率。柯西中值定理（Cauchy）：引入了两个函数，凹凸函数，不等式（三角不等式、均值不等式、Jensen不等式、Young不等式、Holder不等式）。洛必达法则：实际上是柯西中值的推广应用。泰勒展开：Peano余项和Lagrange余项。不定积分 𐟌 换元积分法（第一类和第二类）：通过换元法求解不定积分。分步积分法：分步积分法适用于被积函数包含不同类型项的情况。有理函数积分法：有理函数的积分可以通过部分分式法进行。定积分 𐟓Š 分割、近似、求和、取极限：黎曼可积，Darboux上和等于下和（上和不增，下和不减），必要条件是函数有界。基本性质：线性性、保序性、区间可加性、积分第一中值定理。反常积分、瑕积分、二元无穷限积分：通过求Cauchy主值的方法判断积分收敛的方式（Cauchy判别法、比较判别法、A-D判别法）。 PS: 闭区间上的连续函数一定可积且有界且一致连续，闭区间上的单调函数一定可积。点火公式要记住（sin和cos的n次方在0到2上的积分，考虑n为偶和n为奇，偶的时候从1/2开始要乘2，奇的时候从1开始）。

大学数学速成攻略：微积分篇嘿，朋友们！上次我分享了如何用两三天速成大学数学或统计期末考试的方法，没想到还有不少人问我具体该怎么操作。今天我就再来总结一下，顺便举个微积分的例子，希望大家能举一反三，学会方法后每门课的复习都不再是问题。速成方法论 𐟓š 首先，你需要找到老师总结的课程笔记，大概100页以内。如果老师没给，那就去求学霸吧，或者上网搜Oxford这门课的笔记，肯定能找到。花两天时间，每天10小时左右，把笔记看完，定义定理背熟，证明也尽量背下来。然后再花半天时间看看老师布置的作业题和往年试卷，时间不够的话只看思路不用做。微积分的速成要点 𐟓– 看完笔记后，你对这些基本的定义定理有概念吗？比如Epsilon-delta版本的连续、极限、可导、黎曼可积定义，这些定义怎么从一元函数推广到多元函数，尤其是二元函数。还有可导与连续的关系和反例，二元函数如何沿着不同路径求极限和偏导，证明二元函数在某点极限不存在、不连续或者不可导有哪些方法。一元积分怎么做换元尤其是三角变换，分步积分。一元、二元、三元积分的几何或物理意义。两种线积分的物理意义和表示方法，包括换元法（尤其是polar coordinate, cylindrical coordinate, sphere coordinate）在内的计算方法。关于线积分有三大著名定理：Green’s theorem, Stoke’s theorem, Divergence theorem，你能立刻默写出来吗？知道这些定理涉及的vector field, flux, divergent是什么定义，并且能应用到计算题上吗？最后一条，这条本来大家高中都会的但很多人大学就忘了：把你会做的都做对，不会做的放弃。别因为担心漏掉什么没复习的就紧张不敢做题。希望这些方法能帮到你们，祝大家期末考试顺利通过！𐟒ꀀ

我家猫咪救了我一命𐟐𑊦œ‰时候，生活中最不起眼的瞬间却能带来最大的救赎。那天，我独自坐在书桌前，被一堆复杂的数学公式和物理定理搞得头晕眼花。泰勒公式、一致连续定理、黎曼可积、傅里叶级数……这些名词在我脑海中交织成一片混乱的梦境。我努力地想要找到那个正确的答案，但大脑却像被一团火焰燃烧着，心跳加速，汗水直流。就在我快要崩溃的时候，小布丁跳上了书桌。它伸了个懒腰，打了个哈欠，然后蹭了蹭我。那种柔软而温暖的触感，仿佛一缕清风拂过我的心头，让我瞬间冷静了下来。我看着它那双鸳鸯眼，灵动得像两颗玻璃球，心中涌起一股莫名的平静。小布丁总是能在我最需要的时候出现，它仿佛是上天派来拯救我的天使。每次我心情低落，它总会默默地陪在我身边，用它的方式让我感受到温暖和安慰。与其说是我养了它，倒不如说是它拯救了一个在人间腐臭麻木又脆弱的灵魂。那天，小布丁不仅救了我，也让我重新找回了内心的平静和力量。感谢这只可爱的小猫咪，它用它的方式，让我的生活变得更加美好。

如果假定连续那么很容易利用导数得到证明,但如果不假定f连续该怎么证明呢?请问有大佬有思路吗?

𐟔 黎曼勒贝格引理的简洁证明 𐟓š 𐟓– 黎曼勒贝格引理是数学分析中的重要定理，其证明方法多种多样。以下是一种相对简洁的证明过程，供大家参考。 𐟓Œ 命题表述：设 $f \in R[a,b]$，$g$ 是以 $T$ 为周期且在 $[0,T]$ 上可积的函数。 𐟔 证明过程：注意到 $g$ 的有界性，可以放缩第一部分。利用 $g$ 在一个周期 $T$ 上积分值为 0 的性质，可以放缩第二部分。根据 $f$ 的可积性，取 $n$ 充分大，当 $p \to +\infty$ 时，有： 𐟓 结论：根据上述步骤，我们证明了黎曼勒贝格引理。 𐟌Ÿ 提示： Riemann-Lebesgue引理的证明方法多种多样，这里提供了一种相对简便的证法，有助于记忆。其他书籍如裴礼文《数学分析中的问题与方法》和楼红卫《微积分进阶》也有详细的证明过程，大家可以参考。 𐟔 注意：虽然这种证法相对简便，但在考试中建议使用更为传统和稳定的方法，以确保得分。

微积分II期中考试知识点总结𐟓š 适用于大多数微积分II课程的知识点总结，帮助你更好地备考期中考试！ 𐟓Œ 黎曼和（Riemann Sum） 𐟓Œ 积分的定义和基础公式 𐟓Œ 定积分和不定积分的计算（Indefinite and definite integral） 𐟓Œ 微分学基本定理I和II（Fundamental theorem of Calculus I and II） 𐟓Œ 利用几何性质求定积分 𐟓Œ 替换法求积分（Integration by substitution）及易考题型 𐟓Œ 分部积分法（Integration by parts）及易考题型每个知识点都附有一道例题，帮助你更好地理解和掌握。快来看看吧！

悉大暑假必选高性价比课程推荐暑假来临，许多同学计划在假期里充实自己，提升学分。今天为大家推荐几门悉大Intensive课程，助你轻松刷分！ 𐟓š【Math1014 - 线性代数入门】推荐指数：𐟌Ÿ𐟌Ÿ𐟌Ÿ𐟌Ÿ 这门课程是线性代数的入门级课程，涵盖了向量、线性方程组、矩阵、特征值和特征向量的基本概念。特别强调了其在生命科学和技术科学中的应用。作业包括两个测试、两个书面作业和期末考试。理科背景的学生可能会觉得非常轻松，而文科生则需要多花一些时间，但整体来说，这是一门适合冲刺高分的选修课。 𐟓˜【Math1021 - 一元微积分】推荐指数：𐟌Ÿ𐟌Ÿ𐟌Ÿ𐟌Ÿ 这是一门基础的一元微积分课程，涉及复数、单个变量的函数、极限和连续性、微分、优化、泰勒多项式、泰勒定理、泰勒级数、黎曼和和黎曼积分等主题。与Math1014一样，这门课程也是3学分，是许多学生刷分的经典选择。 𐟓ˆ【Econ1001 - 微观经济介绍】推荐指数：𐟌Ÿ𐟌Ÿ𐟌Ÿ 这是经济学专业的必修课，也是文学院和商学院学生的热门选修课。课程介绍了基础的微观经济学，前半学期内容简单易懂，后半学期难度逐渐增加。虽然有一定的挑战性，但文科生也能通过努力取得不错的成绩。 𐟍【Edgu1003 - 营养学】推荐指数：𐟌Ÿ𐟌Ÿ𐟌Ÿ 这门课程在三四年前曾是悉大的水课之一，但近年来难度有所增加。课程内容涉及生物学词汇和知识，作业则包括评估健康状况和设置食谱等有趣的任务。如果你对营养学感兴趣，这门课程可以让你在个人健康管理上获得一些实用的知识。 𐟓Š【Mktg3400 - 行业公司项目】推荐指数：𐟌Ÿ𐟌Ÿ𐟌Ÿ 这是intensive中难得一见的专业课，属于marketing专业的3级选修课。学生可以选择一个感兴趣的公司或话题，与组员、导师和公司负责人讨论并设计解决方案。虽然这门课程比较冷门，但它提供了与行业内优秀公司接触的机会，是一门实践性很强的课程，非常适合写入简历。

一位教授正在给他的数学系学生讲课。 “黎曼积分的定义是什么？”他问道。一位学生举手回答：“一个黎曼积分是函数的值乘以该函数在某个区间内的无限小增量之和。” 教授欣慰地点点头。 “很好，”他说，“那么，如何求无理数 的黎曼积分？” 学生们面面相觑。教授笑了出来：“无法求解，因为 是一个无理数，无法表示为有理数的比值。” 突然，一位学生激动地举手喊道：“教授，我有办法！” 教授惊讶地问：“哦，你是怎么想的？” 学生兴奋地说：“我们既可以让增量趋近于 0，也可以让无限趋近于 𜁢€ 教授一时语塞。 “等等，”另一位学生说，“如果我们用无理数的反正切函数，就可以将 转换成有理数。然后我们可以求出它的黎曼积分！” 教授目瞪口呆。 “不，不，这样做不行！”第三位学生大喊，“反正切函数的黎曼积分是无限的！” 教室里爆发出一阵笑声。教授擦了擦额头上的汗。“好吧，你们赢了，”他说，“无理数的黎曼积分确实是一个复杂的问题。但你们表现出了非凡的创造力和解决问题的能力。” 从此以后，数学系的学生们都把这堂课称为“无理积分的疯狂冒险”。

AP微积分AB暑期集训指南 𐟓š AP微积分AB，这门由美国大学理事会（College Board）开设的高中水平大学预科课程，可是不少高中生心中的“噩梦”。不过，别担心，我来给你捋一捋这门课的重点内容，帮你理清思路。极限概念 𐟚€ 首先，极限是微积分的基础，你得搞清楚极限的定义和性质。计算各种类型的极限，比如函数极限、无穷大极限和无穷小极限，这些都是必须的。导数和微分 𐟓ˆ 接下来是导数和微分。你需要熟悉导数的概念和计算方法，包括用极限定义来计算导数、应用导数求解最值问题、图像分析和导数运算法则。微分的概念也不能忽视，导数和函数的关系你得搞清楚。积分 𐟎篥ˆ†是微分学的另一大块内容。你需要掌握定积分的概念和计算方法，比如用黎曼和求和来近似定积分、计算定积分、应用定积分求解面积、体积和平均值等问题。微分方程 𐟌€ 微分方程也是一门必修课。你需要了解微分方程的基本概念和解法，包括分离变量法、变量代换法和齐次方程的解法。函数和图像分析 𐟓Š 函数和图像分析是微积分的核心部分。你需要对各种函数进行分析，包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数和其他常见函数。了解函数的性质、图像特征、渐近线和对称性等都是必须的。应用问题 𐟔犦œ€后，微积分的应用问题也是考试的重点。你需要能够将微积分的概念和技巧应用于实际问题，比如求解速度、加速度、曲线长度、物体体积、面积等与变化相关的问题。考试形式 𐟓 AP微积分AB考试包括选择题和解答题两个部分。选择题部分涵盖上述内容的各个方面，考察你的计算和理论应用能力。解答题部分则要求学生通过解题过程和解释来展示对微积分概念和技巧的理解和运用能力。希望这些信息能帮到你，祝你在AP微积分AB的暑期集训中取得好成绩！𐟒ꀀ

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